Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x^{2}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 x^{3} - 60 x$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 60 x$ .

$12 x^{3} - 60 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 60 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 60 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 60 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 60 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ .

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x^{2} - 5) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 30$ на $0$ .

$0 + 0 + 27$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 27$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $27$ .

$27$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\sqrt{5}$ вместо $x$ .

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $3$ на $25$ .

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Этап 4.2.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Этап 4.2.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Этап 4.2.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Этап 4.2.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Этап 4.2.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $- 30$ на $5$ .

$75 - 150 + 27$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $150$ из $75$ .

$- 75 + 27$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 75$ и $27$ .

$- 48$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- \sqrt{5}$ вместо $x$ .

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим ${\sqrt{5}}^{4}$ на $1$ .

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $3$ на $25$ .

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{5}$ .

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Этап 4.3.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Этап 4.3.2.1.9

Умножим ${\sqrt{5}}^{2}$ на $1$ .

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Этап 4.3.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Этап 4.3.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Этап 4.3.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Этап 4.3.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Этап 4.3.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Этап 4.3.2.1.11

Умножим $- 30$ на $5$ .

$75 - 150 + 27$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $150$ из $75$ .

$- 75 + 27$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 75$ и $27$ .

$- 48$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

Этап 5