Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{2}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$20 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} - 20 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $20 x^{3} - 20 x$ и $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} - 20 x$ .

$20 x^{3} - 20 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 x^{3} - 20 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$20 x^{3} - 20 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $20 x$ из $20 x^{3} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $20 x$ из $20 x^{3}$ .

$20 x (x^{2}) - 20 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $20 x$ из $- 20 x$ .

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 1) = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $20 x$ из $20 x (x^{2}) + 20 x (- 1)$ .

$20 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$20 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$20 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$20 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $20 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$5 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 \cdot 0 - 10 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 10$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$5 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$5 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5 - 10 \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 10$ на $1$ .

$5 - 10 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $10$ из $5$ .

$- 5 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$- 4$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$5 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 \cdot 1 - 10 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 - 10 {(1)}^{2} + 1$

Этап 4.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 - 10 \cdot 1 + 1$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 10$ на $1$ .

$5 - 10 + 1$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $10$ из $5$ .

$- 5 + 1$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 5$ и $1$ .

$- 4$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 1), (- 1, - 4), (1, - 4)$

Этап 5