Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{3}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$21 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$21 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$21 x^{2} - 12 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $21 x^{2} - 12 x$ и $0$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 12 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $21 x^{2} - 12 x$ .

$21 x^{2} - 12 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $21 x^{2} - 12 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$21 x^{2} - 12 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $21 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $21 x^{2}$ .

$3 x (7 x) - 12 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 12 x$ .

$3 x (7 x) + 3 x (- 4) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (7 x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (7 x - 4) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$7 x - 4 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $7 x - 4$ к $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $7 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$7 x = 4$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $7 x = 4$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (7 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{7}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$7 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$7 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $7$ на $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{4}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{4}{7}$ вместо $x$ .

$7 {(\frac{4}{7})}^{3} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{4}{7}$ .

$7 \frac{4^{3}}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$7 \frac{64}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$7 (\frac{64}{343}) - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $7$ из $343$ .

$7 \frac{64}{7 (49)} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{64}{7 \cdot 49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64}{49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Этап 4.2.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{4}{7}$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{4^{2}}{7^{2}} + 1$

Этап 4.2.2.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{16}{7^{2}} + 1$

Этап 4.2.2.1.7

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 (\frac{16}{49}) + 1$

Этап 4.2.2.1.8

Умножим $- 6 (\frac{16}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.8.1

Объединим $- 6$ и $\frac{16}{49}$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 6 \cdot 16}{49} + 1$

Этап 4.2.2.1.8.2

Умножим $- 6$ на $16$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 96}{49} + 1$

Этап 4.2.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{64}{49} - \frac{96}{49} + 1$

Этап 4.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{64 - 96}{49}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вычтем $96$ из $64$ .

$1 + \frac{- 32}{49}$

Этап 4.2.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{32}{49}$

Этап 4.2.2.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{49}{49} - \frac{32}{49}$

Этап 4.2.2.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{49 - 32}{49}$

Этап 4.2.2.2.2.5

Вычтем $32$ из $49$ .

$\frac{17}{49}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 1), (\frac{4}{7}, \frac{17}{49})$

Этап 5