Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

Этап 1.1.3.9

Умножим ${(4 - x)}^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель ${(4 - x)}^{2}$ из $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель ${(4 - x)}^{2}$ из $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель ${(4 - x)}^{2}$ из ${(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель ${(4 - x)}^{2}$ из ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(4 - x)}^{2}$ в виде $(4 - x) (4 - x)$ .

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(4 - x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.5.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Этап 1.1.4.6

Развернем $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.2

Умножим $16$ на $4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.4.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.5

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.6

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.8.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

Этап 1.1.4.7.9

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 1.1.4.8

Вычтем $32 x$ из $- 64 x$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Этап 1.1.4.9

Добавим $32 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 96 x$ .

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{3}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 24 x) + 4 (16)$ .

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Изменим порядок членов.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 2.2.3.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.5

Умножим $9$ на $1$ .

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.6

Добавим $- 1$ и $9$ .

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.7

Умножим $- 24$ на $1$ .

$8 - 24 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.8

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 16$

Этап 2.2.3.1.3.9

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

Этап 2.2.3.1.5

Разделим $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Этап 2.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

Этап 2.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 2.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 2.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 2.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 8 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

Этап 2.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Этап 2.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Этап 2.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Этап 2.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 16 x + 16$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 2.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Этап 2.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 8 x - 16$

Этап 2.2.3.1.6

Запишем $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.2

Запишем $8$ как $4$ плюс $4$

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

Этап 2.2.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

Этап 2.2.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

Этап 2.2.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

Этап 2.2.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.2.5.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

Этап 2.2.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

Этап 2.2.5.4

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

Этап 2.2.5.5

Избавимся от скобок.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

Этап 2.2.5.6

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Этап 2.2.5.7

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Этап 2.2.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

Этап 2.2.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 2.2.5.10

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 1, 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x {(4 - x)}^{3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим ${(4 - (1))}^{3}$ на $1$ .

${(4 - (1))}^{3}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(4 - 1)}^{3}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$3^{3}$

Этап 4.1.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 {(4 - 4)}^{3}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$4 \cdot 0^{3}$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0$

Этап 4.2.2.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, 27), (4, 0)$

Этап 5