Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Этап 1.1.7

Объединим $2$ и $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.2.2

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.8.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.8.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Этап 1.1.8.6.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.2.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.2.3

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.2.3.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.3.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Этап 4

Вычислим $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Этап 4.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Этап 4.1.2.3.2

Разделим $0$ на $- 1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Этап 4.3.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 5