Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} - 2 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{3} - 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - 2 {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$4 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 + {(- 2)}^{1 + 2}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$4 + {(- 2)}^{3}$

Этап 4.2.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$4 - 8$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - 2 {(2)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 - 2 \cdot 4$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 - 8$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (- 2, - 4), (2, - 4)$

Этап 5