Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x^{2} - 4$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} = 4$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Этап 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 2.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 2.3.4.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.3.4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 2.3.4.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Этап 3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 3.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2.3.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.3.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.4

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2.4.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.4.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 4

Вычислим $\frac{x}{x^{2} - 4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Этап 4.1.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{2}{0}$

Этап 4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены