Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 1.1.10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

Этап 1.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Этап 1.1.11.2

Умножим $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Разделим каждый член $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.1.2.1.2

Разделим ${(x - 5)}^{4}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

Этап 3.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

${(x - 5)}^{4} = 0$

Этап 3.3.3.2

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.3.3.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Вычислим $\sqrt[5]{x - 5}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\sqrt[5]{0}$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$\sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(5, 0)$

Этап 5