Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ в виде ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.1.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Этап 1.1.12

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.13.2

Умножим $2 x - 2$ на $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.13.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.13.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.13.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $2 (x - 1) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ в виде ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Применим правило умножения к $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Этап 3.3.3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.3.3.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.3.3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.3.3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3.3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3.4

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.3.3.4.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.4.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.3.3.4.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0, x = 2$

Этап 4

Вычислим $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Этап 4.1.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Этап 4.1.2.4

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Этап 4.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$- 1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Этап 4.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Этап 4.2.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.2.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Этап 5