Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 1.1.3.9

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.1.3.10

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.4

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.2.7

НОК $x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.2.8

НОК $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ на $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$5 x^{1} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим $5 x^{1}$ .

$5 x + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.7

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$5 x + 10 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$5 x + 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x + 10 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 10$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $5 x = - 10$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 10$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $- 10$ на $5$ .

$x = - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

${(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{5} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$0 + 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$0 + 5 \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 5 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.9

Умножим $5$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 2, {(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Этап 5