Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 4$ .

$3 x^{2} - 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{3} - 4 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ вместо $x$ .

${(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.4

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.2.6

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $24$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$\frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $24 \sqrt{3}$ из $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ вместо $x$ .

${(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.4

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.4.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$- \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.3.6

Умножим $8$ на $3$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.5

Сократим общий множитель $24$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.1.6.2

Объединим $4$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 4.2.2.1.6.3

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.2

Чтобы записать $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 4.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 4.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Этап 4.2.2.5.2

Добавим $- 8 \sqrt{3}$ и $24 \sqrt{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$

Этап 5