Математический анализ Примеры

$x^{6} e^{x} - 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{6} e^{x} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Добавим $x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ и $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Этап 1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{5} e^{x}$ из $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{5} e^{x}$ из $x^{6} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x^{5} e^{x}$ из $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x^{5} e^{x}$ из $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ .

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{5}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{5}$ к $0$ .

$x^{5} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{5} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ верно.

$x = 0, - 6$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{6} e^{x} - 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0} - 5$

Этап 4.1.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 - 5$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 6$ вместо $x$ .

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 6$ в степень $6$ .

$46656 e^{- 6} - 5$

Этап 4.2.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

Этап 4.2.2.3

Объединим $46656$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

Этап 5