Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.3
Продифференцируем.
Этап 1.1.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.3.4
Упростим выражение.
Этап 1.1.3.4.1
Добавим и .
Этап 1.1.3.4.2
Умножим на .
Этап 1.1.3.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.6
Перенесем влево от .
Этап 1.1.4
Упростим.
Этап 1.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.4.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.4.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.4.4
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.1.4.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.4.4.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.4.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.4.5
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.1.4.5.1
Упростим каждый член.
Этап 1.1.4.5.1.1
Умножим на .
Этап 1.1.4.5.1.2
Перенесем влево от .
Этап 1.1.4.5.1.3
Перепишем в виде .
Этап 1.1.4.5.1.4
Перепишем в виде .
Этап 1.1.4.5.1.5
Умножим на .
Этап 1.1.4.5.2
Вычтем из .
Этап 1.1.4.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.4.7
Упростим.
Этап 1.1.4.7.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.4.7.1.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.4.7.1.2
Добавим и .
Этап 1.1.4.7.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.4.7.3
Умножим на .
Этап 1.1.4.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.4.8.1
Перенесем .
Этап 1.1.4.8.2
Умножим на .
Этап 1.1.4.8.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.4.8.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.4.8.3
Добавим и .
Этап 1.1.4.9
Упростим каждый член.
Этап 1.1.4.9.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.1.4.9.2
Умножим на .
Этап 1.1.4.10
Добавим и .
Этап 1.1.4.11
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 1.1.4.12
Упростим каждый член.
Этап 1.1.4.12.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.4.12.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.4.12.2.1
Перенесем .
Этап 1.1.4.12.2.2
Умножим на .
Этап 1.1.4.12.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.4.12.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.4.12.2.3
Добавим и .
Этап 1.1.4.12.3
Перенесем влево от .
Этап 1.1.4.12.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.4.12.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.4.12.5.1
Перенесем .
Этап 1.1.4.12.5.2
Умножим на .
Этап 1.1.4.12.5.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.4.12.5.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.4.12.5.3
Добавим и .
Этап 1.1.4.12.6
Умножим на .
Этап 1.1.4.12.7
Умножим на .
Этап 1.1.4.12.8
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.1.4.12.9
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.1.4.12.9.1
Перенесем .
Этап 1.1.4.12.9.2
Умножим на .
Этап 1.1.4.12.9.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.1.4.12.9.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.4.12.9.3
Добавим и .
Этап 1.1.4.12.10
Перенесем влево от .
Этап 1.1.4.13
Вычтем из .
Этап 1.1.4.14
Добавим и .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.6
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.1.7
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.2
Разложим на множители, используя теорему о рациональных корнях.
Этап 2.2.2.1
Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид , где — делитель константы, а — делитель старшего коэффициента.
Этап 2.2.2.2
Найдем все комбинации . Это ― возможные корни многочлена.
Этап 2.2.2.3
Подставим и упростим выражение. В этом случае выражение равно , поэтому является корнем многочлена.
Этап 2.2.2.3.1
Подставим в многочлен.
Этап 2.2.2.3.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.2.3.3
Умножим на .
Этап 2.2.2.3.4
Возведем в степень .
Этап 2.2.2.3.5
Умножим на .
Этап 2.2.2.3.6
Вычтем из .
Этап 2.2.2.3.7
Умножим на .
Этап 2.2.2.3.8
Добавим и .
Этап 2.2.2.3.9
Вычтем из .
Этап 2.2.2.4
Поскольку — известный корень, разделим многочлен на , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.
Этап 2.2.2.5
Разделим на .
Этап 2.2.2.5.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
- | - | + | - |
Этап 2.2.2.5.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
- | - | + | - |
Этап 2.2.2.5.3
Умножим новое частное на делитель.
- | - | + | - | ||||||||
+ | - |
Этап 2.2.2.5.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
- | - | + | - | ||||||||
- | + |
Этап 2.2.2.5.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- |
Этап 2.2.2.5.6
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Этап 2.2.2.5.7
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
- | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Этап 2.2.2.5.8
Умножим новое частное на делитель.
- | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Этап 2.2.2.5.9
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
- | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
Этап 2.2.2.5.10
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
- | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ |
Этап 2.2.2.5.11
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
- | |||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Этап 2.2.2.5.12
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Этап 2.2.2.5.13
Умножим новое частное на делитель.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - |
Этап 2.2.2.5.14
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
Этап 2.2.2.5.15
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
- | + | ||||||||||
- | - | + | - | ||||||||
- | + | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
Этап 2.2.2.5.16
Поскольку остаток равен , окончательным ответом является частное.
Этап 2.2.2.6
Запишем в виде набора множителей.
Этап 2.2.3
Разложим на множители.
Этап 2.2.3.1
Разложим на множители методом группировки
Этап 2.2.3.1.1
Разложим на множители методом группировки
Этап 2.2.3.1.1.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Этап 2.2.3.1.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2.3.1.1.1.2
Запишем как плюс
Этап 2.2.3.1.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.2.3.1.1.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Этап 2.2.3.1.1.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 2.2.3.1.1.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 2.2.3.1.1.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 2.2.3.1.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 2.2.3.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 2.2.4
Объединим показатели степеней.
Этап 2.2.4.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.4.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.4.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.4.4
Добавим и .
Этап 2.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.4.1
Приравняем к .
Этап 2.4.2
Решим относительно .
Этап 2.4.2.1
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 2.4.2.2
Упростим .
Этап 2.4.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 2.4.2.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 2.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.5.1
Приравняем к .
Этап 2.5.2
Решим относительно .
Этап 2.5.2.1
Приравняем к .
Этап 2.5.2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.6.1
Приравняем к .
Этап 2.6.2
Решим относительно .
Этап 2.6.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.6.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.6.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.6.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 2.6.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.6.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.6.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 3
Этап 3.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем значение в .
Этап 4.1.1
Подставим вместо .
Этап 4.1.2
Упростим.
Этап 4.1.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.1.2.2
Вычтем из .
Этап 4.1.2.3
Возведем в степень .
Этап 4.1.2.4
Умножим на .
Этап 4.2
Найдем значение в .
Этап 4.2.1
Подставим вместо .
Этап 4.2.2
Упростим.
Этап 4.2.2.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.2.2.2
Умножим на .
Этап 4.2.2.3
Вычтем из .
Этап 4.2.2.4
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.3
Найдем значение в .
Этап 4.3.1
Подставим вместо .
Этап 4.3.2
Упростим.
Этап 4.3.2.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.3
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3.2.5
Объединим и .
Этап 4.3.2.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.2.7
Упростим числитель.
Этап 4.3.2.7.1
Умножим на .
Этап 4.3.2.7.2
Вычтем из .
Этап 4.3.2.8
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.3.2.9
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 4.3.2.9.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.9.2
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.10
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.11
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.12
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.13
Умножим .
Этап 4.3.2.13.1
Умножим на .
Этап 4.3.2.13.2
Умножим на .
Этап 4.3.2.13.3
Умножим на .
Этап 4.4
Перечислим все точки.
Этап 5