Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{2} e^{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} e^{0}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0}$

Этап 4.1.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 4.1.2.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 e^{- 2}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

Этап 5