Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{8 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $8$ на $1$ .

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $8$ влево от $e^{8 x}$ .

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ .

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 x e^{8 x}$ из $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 x e^{8 x}$ из $8 x^{2} e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2 x e^{8 x}$ из $2 x e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $2 x e^{8 x}$ из $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ .

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $e^{8 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $e^{8 x}$ к $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $e^{8 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Этап 2.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.5.2.3

Нет решения для $e^{8 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.6

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{4}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{2} e^{8 x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{8 (0)}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$0 e^{0}$

Этап 4.1.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- \frac{1}{4}$ вместо $x$ .

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

Этап 4.2.2.3.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

Этап 4.2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

Этап 4.2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

Этап 4.2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

Этап 4.2.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Этап 4.2.2.6

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

Этап 4.2.2.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{16 e^{2}}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

Этап 5