Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.2
Производная по равна .
Этап 1.1.3
Умножим на .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.3.1
Приравняем к .
Этап 2.3.2
Решим относительно .
Этап 2.3.2.1
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 2.3.2.2
Упростим правую часть.
Этап 2.3.2.2.1
Точное значение : .
Этап 2.3.2.3
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 2.3.2.4
Упростим .
Этап 2.3.2.4.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.3.2.4.2
Объединим дроби.
Этап 2.3.2.4.2.1
Объединим и .
Этап 2.3.2.4.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.3.2.4.3
Упростим числитель.
Этап 2.3.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 2.3.2.4.3.2
Вычтем из .
Этап 2.3.2.5
Найдем период .
Этап 2.3.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 2.3.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 2.3.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 2.3.2.5.4
Разделим на .
Этап 2.3.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 2.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 2.4.1
Приравняем к .
Этап 2.4.2
Решим относительно .
Этап 2.4.2.1
Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из синуса.
Этап 2.4.2.2
Упростим правую часть.
Этап 2.4.2.2.1
Точное значение : .
Этап 2.4.2.3
Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из и найдем решение во втором квадранте.
Этап 2.4.2.4
Вычтем из .
Этап 2.4.2.5
Найдем период .
Этап 2.4.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 2.4.2.5.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 2.4.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 2.4.2.5.4
Разделим на .
Этап 2.4.2.6
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 2.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
, для любого целого
Этап 2.6
Объединим ответы.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 3
Этап 3.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем значение в .
Этап 4.1.1
Подставим вместо .
Этап 4.1.2
Упростим.
Этап 4.1.2.1
Точное значение : .
Этап 4.1.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.2
Найдем значение в .
Этап 4.2.1
Подставим вместо .
Этап 4.2.2
Упростим.
Этап 4.2.2.1
Точное значение : .
Этап 4.2.2.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.3
Перечислим все точки.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 5