Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Этап 1

Запишем $y = 5 x^{3} - 3 x$ в виде функции.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Этап 2

Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$f (1) = 2$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 2.2

Поскольку $2 = 2$ , точка лежит на графике.

Точка лежит на графике

Этап 3

Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.

$m$ $=$ Производная от $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Этап 4

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 5

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Этап 5.1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 5.1.2.2

Окончательный ответ: $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 5.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 5.2.2

Перенесем $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Этап 5.2.3

Перенесем $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 5.2.4

Перенесем $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 5.2.5

Перенесем $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 5.2.6

Изменим порядок $15 h^{2} x$ и $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Этап 5.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Этап 6

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Этап 7.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Этап 7.1.4

Вычтем $5 x^{3}$ из $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Этап 7.1.5

Добавим $5 h^{3}$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Этап 7.1.6

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Этап 7.1.7

Добавим $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 7.1.8

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Этап 7.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 7.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 7.1.8.6

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Этап 7.1.8.7

Вынесем множитель $h$ из $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перенесем $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Этап 7.2.2.2

Перенесем $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Этап 7.2.2.3

Изменим порядок $15 x h$ и $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 9

Найдем предел $15 x^{2}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 10

Вынесем член $15 x$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 11

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $h^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 14.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $15 x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Умножим $0$ на $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 15.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Этап 15.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Этап 15.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Этап 15.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Этап 15.2

Объединим противоположные члены в $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Этап 15.2.2

Добавим $15 x^{2}$ и $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Этап 16

Найдем угловой коэффициент $m$ . В этом случае $m = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Избавимся от скобок.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Этап 16.2

Упростим $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Этап 16.2.1.2

Умножим $15$ на $1$ .

$m = 15 - 3$

Этап 16.2.2

Вычтем $3$ из $15$ .

$m = 12$

Этап 17

Угловой коэффициент равен $m = 12$ , а точка ― $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Этап 18

Найдем значение $b$ , используя уравнение прямой.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем $b$ с помощью уравнения прямой.

$y = m x + b$

Этап 18.2

Подставим значение $m$ в уравнение.

$y = (12) \cdot x + b$

Этап 18.3

Подставим значение $x$ в уравнение.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Этап 18.4

Подставим значение $y$ в уравнение.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Этап 18.5

Найдем значение $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Перепишем уравнение в виде $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Этап 18.5.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + b = 2$

Этап 18.5.3

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.3.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$b = 2 - 12$

Этап 18.5.3.2

Вычтем $12$ из $2$ .

$b = - 10$

Этап 19

Теперь, когда известны значения $m$ (углового коэффициента) и $b$ (координат точки пересечения с осью y), подставим их в $y = m x + b$ , чтобы найти уравнение прямой.

$y = 12 x - 10$

Этап 20