Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} = 36$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} y^{2} = 36$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} y^{2} = 36$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

Этап 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{6}{x}$

Этап 1.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{6}{x}$

Этап 1.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{6}{x}$

Этап 1.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 3.3

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ на $2 x^{2} y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ на $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Этап 3.5.2.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Этап 3.5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Этап 3.5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Этап 3.5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{x}$

Этап 3.5.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{y}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 4.2

Каждый член в $- \frac{y}{x} = 0$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $- \frac{y}{x} = 0$ на $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- y = 0 x$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $0$ на $x$ .

$- y = 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- y = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$y = 0$

Этап 4.4

Переменная $x$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $l$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $l$ .

Этап 5.2.1.2

Умножим $l$ на $l$ .

Этап 5.2.2

Умножим $l^{2}$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $l$ .

Этап 5.2.2.2

Умножим $l$ на $l^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Возведем $l$ в степень $1$ .

Этап 5.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 5.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

Этап 5.2.3

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перенесем $r$ .

Этап 5.2.3.2

Умножим $r$ на $r$ .

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

Этап 5.2.4.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

Этап 5.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 5.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $l$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перенесем $l$ .

Этап 6.2.1.2

Умножим $l$ на $l$ .

Этап 6.2.2

Умножим $l^{2}$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перенесем $l$ .

Этап 6.2.2.2

Умножим $l$ на $l^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Возведем $l$ в степень $1$ .

Этап 6.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 6.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

Этап 6.2.3

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $r$ .

Этап 6.2.3.2

Умножим $r$ на $r$ .

Этап 6.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

Этап 6.2.4.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

Этап 6.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 6.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

Этап 6.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Этап 8