Математический анализ Примеры

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x y + y^{2} - 3 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = x$ и $c = x^{2} - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5

Перепишем $- 3 x^{2} + 12$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5

Перепишем $- 3 x^{2} + 12$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.4

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.5.7

Перепишем $- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ в виде $- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.3

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5

Перепишем $- 3 x^{2} + 12$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.4

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.6.7

Перепишем $- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ в виде $- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Этап 1.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Этап 3.2.4

Изменим порядок членов.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ на $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.5.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Этап 3.5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x + y = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - y$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2}$

Этап 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $\frac{y}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.6

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.7

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Этап 5.2.2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Этап 5.2.2.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.10.1

Объединим $3$ и $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Этап 5.2.2.10.2

Умножим $\frac{3 (4 - y)}{2}$ на $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Этап 5.2.2.10.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Этап 5.2.2.11

Перепишем $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3 (4 - y) (4 + y)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Этап 5.2.2.11.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Этап 5.2.2.11.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Этап 5.2.2.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{2}$

Этап 5.2.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Этап 5.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.2.4

Умножим $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 5.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 5.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Перепишем $- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ в виде $- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 5.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 5.2.8.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Этап 5.2.8.4

Умножим $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 5.2.9

Окончательный ответ: $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $\frac{y}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.6

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.7

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Этап 6.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Этап 6.2.2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Этап 6.2.2.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.10.1

Объединим $3$ и $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Этап 6.2.2.10.2

Умножим $\frac{3 (4 - y)}{2}$ на $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Этап 6.2.2.10.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Этап 6.2.2.11

Перепишем $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.11.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3 (4 - y) (4 + y)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Этап 6.2.2.11.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Этап 6.2.2.11.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Этап 6.2.2.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$

Этап 6.2.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Этап 6.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Этап 6.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.2.4

Умножим $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 6.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 6.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 6.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 6.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Перепишем $- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ в виде $- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Этап 6.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 6.2.8.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Этап 6.2.8.4

Умножим $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 6.2.9

Окончательный ответ: $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Этап 8