Математический анализ Примеры

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Этап 1.2

Упростим $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Этап 1.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Этап 1.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Этап 1.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Этап 1.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y'$

Этап 3.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 3.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Этап 3.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Этап 3.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Этап 3.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y, y, 1$

Этап 4.1.2

Так как $2 y, y, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, y^{1}$ .

Этап 4.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 4.1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 4.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 4.1.6

НОК $2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 4.1.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 4.1.8

НОК $y^{1}, y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 4.1.9

НОК $2 y, y, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y$

Этап 4.2

Каждый член в $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ на $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $2 \frac{3 x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Этап 4.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $0 (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $0$ на $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Этап 5.2.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Этап 6.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Этап 7.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 2) = 2$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Этап 9