Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.6

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2.8

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Этап 1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Этап 1.2.11.2

Умножим $x^{2} - 8 x + 7$ на $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.6

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.7

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.8

Вычтем $8 x$ из $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Этап 1.3.4.10

Вычтем $8 x$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Этап 1.3.4.11

Добавим $8$ и $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 5, 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ в точке $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Этап 3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $40$ из $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 15$ и $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Этап 3.2.3.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $- 32$ .

$- 32$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Этап 4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $8$ из $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Этап 4.2.3.3

Умножим $0$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ ― $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Этап 6