Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Этап 1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Этап 1.11

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 1.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Этап 1.12.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x - 4$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x - 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 4$

Этап 2.2

Разделим каждый член $4 x = 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 4$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $4$ на $4$ .

$x = 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Этап 3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ : $y = 0$ .

$y = 0$

Этап 5