Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{- x}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Этап 2.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.4

Приравняем $- x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- x + 1$ к $0$ .

$- x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (- x + 1) = 0$ верно.

$x = 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x e^{- x}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $e^{- (1)}$ на $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Этап 3.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 4

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x e^{- x}$ : $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Этап 5