Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

Этап 1.2.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 x^{2} - 6$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 6$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 6$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$x^{2} = 2$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 6 x$ в точке $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

Этап 3.2.2

Вычтем $6 \sqrt{2}$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} - 6 x$ в точке $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

Этап 4.2.2

Добавим $- 2 \sqrt{2}$ и $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} - 6 x$ ― $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

Этап 6