Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 2.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Этап 3.2.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ в точке $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ― $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

Этап 6