Математический анализ Примеры

$x^{2} + 4 y^{2} = 36$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} = 36 - x^{2}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = 36 - x^{2}$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{4} + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим $36$ на $4$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- x^{2}}{4}$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 9 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 1.4

Упростим $\pm \sqrt{9 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Этап 1.4.1.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Этап 1.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (3 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 2 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.6

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.7

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.8

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Этап 1.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 - x}{2}}$

Этап 1.4.10

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 + x}{2} \cdot \frac{6 - x}{2}}$

Этап 1.4.11

Умножим $\frac{6 + x}{2}$ на $\frac{6 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.4.12

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}}$

Этап 1.4.13

Перепишем $\frac{(6 + x) (6 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.13.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(6 + x) (6 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{4}}$

Этап 1.4.13.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 1.4.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((6 + x) (6 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((6 + x) (6 - x))}$

Этап 1.4.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Этап 1.4.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Этап 1.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Этап 1.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Этап 1.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 4 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 4 (2 y y')$

Этап 3.2.2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$2 x + 8 y y'$

Этап 3.2.3

Изменим порядок членов.

$8 y y' + 2 x$

Этап 3.3

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$8 y y' + 2 x = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' = - 2 x$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $8 y y' = - 2 x$ на $8 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $8 y y' = - 2 x$ на $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{8 y}$

Этап 3.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{8 y}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{8 y}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (4 y)}$

Этап 3.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{4 y}$

Этап 3.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $6$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Этап 5.2.2.3

Добавим $6$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Этап 5.2.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{36}}{2}$

Этап 5.2.2.5

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Этап 5.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = \frac{6}{2}$

Этап 5.2.3

Разделим $6$ на $2$ .

$f (0) = 3$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(6 + 0) (6 - (0))}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $6$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 - (0))}}{2}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 (6 + 0)}}{2}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $6$ и $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 6}}{2}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $6$ на $6$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{36}}{2}$

Этап 6.2.2.5

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{6^{2}}}{2}$

Этап 6.2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = - \frac{6}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 3$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (0) = - 3$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 3, y = - 3$

$y = 3, y = - 3$

Этап 8