Математический анализ Примеры

$y = x + \cos (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 3.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x + \cos (x)$ в точке $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x + \cos (x)$ в точке $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + 2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Запишем $2 π$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{2 π}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{2 π}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Этап 5.2.1.4

Запишем $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.5.2

Добавим $π$ и $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.6

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.3.8

Умножим $0$ на $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $π$ и $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $5 π$ и $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x + \cos (x)$ : $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Этап 7