Математический анализ Примеры

$y = \sec (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \sec (x)$

Этап 2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sec (x) \tan (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 3.2

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 3.2.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3.3

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 3.3.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 3.3.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.3.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.3.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sec (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = \sec (x)$ в точке $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$f (π) = \sec (π)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$f (π) = - \sec (0)$

Этап 4.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = \sec (x)$ : $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Этап 6