Математический анализ Примеры

$y = 5 x - x^{2}$

Этап 1

Изменим порядок $5 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5 x$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x + 5 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$- 2 x + 5$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 5$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = - x^{2} + 5 x$ в точке $x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Этап 5.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Этап 5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

Этап 5.2.1.4

Умножим $5 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Объединим $5$ и $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\frac{25}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $25$ на $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $- 25$ и $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

Этап 6

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - x^{2} + 5 x$ : $y = \frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

Этап 7