Математический анализ Примеры

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 = 0$

Этап 3.2

Поскольку $2 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 4

Отсутствие решений в случае, когда производная равна $0$ , $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ означает, что горизонтальные касательные отсутствуют.

Горизонтальные касательные не найдены

Этап 5