Математический анализ Примеры

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 2 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1$

Этап 3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 0.2367329$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ в точке $x = 0.2367329$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $0.2367329$ в степень $4$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Этап 4.2.1.2

Возведем $0.2367329$ в степень $2$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $2$ на $0.05604246$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0.00314075$ и $0.11208493$ .

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $0.2367329$ из $0.11522569$ .

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 0.12150721$ .

$- 0.12150721$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ : $y = - 0.12150721$ .

$y = - 0.12150721$

Этап 6