Математический анализ Примеры

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Этап 2

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (x) = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 2.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Решим исходную функцию $f (x) = x + 2 \sin (x)$ в точке $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x + 2 \sin (x)$ в точке $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 4.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Этап 5

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x + 2 \sin (x)$ ― $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Этап 6