Математический анализ Примеры

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$ не определено.

$x = - 3$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 4 x - 7}{x + 3}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) - 7}{x + 3}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 7}{x + 3}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)}{x + 3}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)$ .

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Этап 5.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Перепишем $- (x^{2} + 4 x + 7)$ в виде $- 1 (x^{2} + 4 x + 7)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Этап 5.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$

Этап 5.2

Развернем $- (x^{2} + 4 x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим знак $x^{2} + 4 x + 7$ на противоположный.

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 7}{x + 3}$

Этап 5.2.6

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$4 x$

$7$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 3 x$ .

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					-	$x$	-	$3$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 3$ .

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$
							-	$4$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- x - 1 - \frac{4}{x + 3}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x - 1$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x - 1$

Этап 7