Математический анализ Примеры

$y = x + \sin (x y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x + \sin (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Этап 3.3.2

Изменим порядок членов.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Этап 5.2

Вычтем $x y' \cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - x y' \cos (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ на $1 - x \cos (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ на $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x \cos (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y \cos (x y) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $y \cos (x y) = - 1$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $y \cos (x y) = - 1$ на $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x y)$ на $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Этап 7.2.4

Разделим каждый член $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим каждый член $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Этап 7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Этап 7.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Этап 8.1.1.2

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (- \frac{1}{y})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ равно $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Этап 8.1.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Этап 8.1.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.5

Умножим $- - \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.5.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Этап 8.1.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Этап 8.1.1.10

Умножим $\frac{y - 1}{y}$ на $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Этап 8.1.1.11

Умножим $y$ на $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Этап 8.1.1.12

Перепишем $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Этап 8.1.1.12.2

Вынесем полную степень $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Этап 8.1.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Этап 8.1.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Этап 8.1.1.14

Объединим $\frac{1}{y}$ и $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Этап 8.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Этап 8.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$y \approx 1.94368519$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Этап 9.2

Упростим $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Разделим $1$ на $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Этап 9.2.1.3

Найдем значение $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Этап 9.2.2

Разделим $2.11120515$ на $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Этап 11