Математический анализ Примеры

$x^{2} + x y = 10$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + x y' + y$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$x y' + 2 x + y$

Этап 3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + 2 x + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y = - 2 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' = - 2 x - y$

Этап 5.2

Разделим каждый член $x y' = - 2 x - y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $x y' = - 2 x - y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{y}{x} = 2$

Этап 7.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 7.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 7.3

Каждый член в $- \frac{y}{x} = 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член $- \frac{y}{x} = 2$ на $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x}$ в числитель.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Этап 7.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Этап 7.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- y = 2 x$

Этап 7.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Этап 7.4.2

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = - y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 7.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Этап 7.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Этап 7.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2}$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Этап 8.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Этап 8.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Этап 8.1.1.3

Умножим $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Этап 8.1.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Этап 8.1.1.5

Умножим $(- \frac{y}{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.5.1

Объединим $y$ и $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Этап 8.1.1.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Этап 8.1.1.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Этап 8.1.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Этап 8.1.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Этап 8.1.2

Чтобы записать $- \frac{y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Этап 8.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Этап 8.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Этап 8.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Этап 8.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Этап 8.1.5.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Этап 8.1.5.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Этап 8.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Этап 8.1.5.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Этап 8.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.6.1

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Этап 8.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Этап 8.2

Умножим обе части уравнения на $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{2}}{4}$ в числитель.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.1.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$y^{2} = - 40$

Этап 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Этап 8.5

Упростим $\pm \sqrt{- 40}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем $- 40$ в виде $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Этап 8.5.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (40)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Этап 8.5.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Этап 8.5.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Этап 8.5.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Этап 8.5.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Этап 8.5.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Этап 8.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Этап 8.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Этап 8.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Этап 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Этап 9.2.2

Разделим $i \sqrt{10}$ на $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Этап 10

Упростим $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Этап 10.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Этап 10.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Этап 10.1.2.4

Разделим $- i \sqrt{10}$ на $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Этап 10.2

Умножим $- (- i \sqrt{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Этап 10.2.2

Умножим $\sqrt{10}$ на $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Этап 11

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Этап 12