Математический анализ Примеры

$x^{6} = \cot (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ на $- \csc^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ на $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $\csc^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Этап 7

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем числитель к нулю.

$6 x^{5} = 0$

Этап 7.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $6 x^{5} = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Разделим каждый член $6 x^{5} = 0$ на $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 7.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 7.2.1.2.1.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Этап 7.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x^{5} = 0$

Этап 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 7.2.3

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Этап 8.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\cot (y) = 0$

Этап 8.3

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из котангенса.

$y = arccot (0)$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Этап 8.5

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$y = π + \frac{π}{2}$

Этап 8.6

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 8.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 8.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 8.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 8.6.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.7

Найдем период $\cot (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.8

Период функции $\cot (y)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.9

Объединим ответы.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Этап 10