Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x - 6}{3 x + 8}$ , $x = 3$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x - 6$ и $g (x) = 3 x + 8$ .

$\frac{(3 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x - 6] - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(3 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + 0) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 8) \cdot 4 - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $4$ влево от $3 x + 8$ .

$\frac{4 \cdot (3 x + 8) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + 0)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) \cdot 3}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим противоположные члены в $4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $4 (3 x)$ и $- 3 (4 x)$ .

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 8 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $3 \cdot 4 x$ из $3 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 8 + 0 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $4 \cdot 8$ и $0$ .

$\frac{4 \cdot 8 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{32 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$\frac{32 + 18}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $32$ и $18$ .

$\frac{50}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Этап 4

Найдем производную в $x = 3$ .

$\frac{50}{{(3 (3) + 8)}^{2}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{50}{{(9 + 8)}^{2}}$

Этап 5.2

Добавим $9$ и $8$ .

$\frac{50}{17^{2}}$

Этап 5.3

Возведем $17$ в степень $2$ .

$\frac{50}{289}$