Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
Продифференцируем.
Этап 1.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Перепишем в виде .
Этап 1.1.2.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.4
Умножим на .
Этап 1.1.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.4
Упростим.
Этап 1.1.4.1
Объединим термины.
Этап 1.1.4.1.1
Объединим и .
Этап 1.1.4.1.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.4.2
Изменим порядок членов.
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.3
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 2.3.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 2.3.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
Этап 2.4
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 2.4.1
Умножим каждый член на .
Этап 2.4.2
Упростим левую часть.
Этап 2.4.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.4.2.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.4.2.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.4.2.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.5
Решим уравнение.
Этап 2.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 2.5.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.5.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.5.2.2
Упростим левую часть.
Этап 2.5.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 2.5.2.2.2
Разделим на .
Этап 2.5.2.3
Упростим правую часть.
Этап 2.5.2.3.1
Разделим на .
Этап 2.5.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 2.5.4
Упростим .
Этап 2.5.4.1
Перепишем в виде .
Этап 2.5.4.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.5.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.5.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.5.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.5.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 3
Значения, при которых производная равна : .
Этап 4
Этап 4.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 4.2
Решим относительно .
Этап 4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 4.2.2
Упростим .
Этап 4.2.2.1
Перепишем в виде .
Этап 4.2.2.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.2.2.3
Плюс или минус равно .
Этап 5
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 6.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.4
Добавим и .
Этап 6.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Упростим каждый член.
Этап 7.2.1.1
Упростим знаменатель.
Этап 7.2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 7.2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.1.3
Применим правило умножения к .
Этап 7.2.1.1.4
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.1.5
Возведем в степень .
Этап 7.2.1.1.6
Умножим на .
Этап 7.2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 7.2.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 7.2.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.1.4
Умножим на .
Этап 7.2.2
Добавим и .
Этап 7.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Упростим каждый член.
Этап 8.2.1.1
Упростим знаменатель.
Этап 8.2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 8.2.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.1.3
Возведем в степень .
Этап 8.2.1.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 8.2.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 8.2.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 8.2.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 8.2.1.4
Умножим на .
Этап 8.2.2
Добавим и .
Этап 8.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 9
Этап 9.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 9.2
Упростим результат.
Этап 9.2.1
Возведем в степень .
Этап 9.2.2
Упростим выражение.
Этап 9.2.2.1
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 9.2.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 9.2.2.3
Добавим и .
Этап 9.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 9.3
При производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 10
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Возрастание в области:
Убывание на:
Этап 11