Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Этап 1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2
Найдем значение .
Этап 1.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.2.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.2.4
Объединим и .
Этап 1.1.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.2.6
Упростим числитель.
Этап 1.1.2.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.2.6.2
Вычтем из .
Этап 1.1.2.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.2.8
Объединим и .
Этап 1.1.2.9
Объединим и .
Этап 1.1.2.10
Умножим на .
Этап 1.1.2.11
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.3
Найдем значение .
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.3.4
Объединим и .
Этап 1.1.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.3.6
Упростим числитель.
Этап 1.1.3.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.3.6.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.3.8
Объединим и .
Этап 1.1.3.9
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.2
Первая производная по равна .
Этап 2
Этап 2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 2.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 2.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Этап 2.2.3
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
1. Перечислим простые множители каждого числа.
2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 2.2.4
Поскольку не имеет множителей, кроме и .
— простое число
Этап 2.2.5
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 2.2.6
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 2.2.7
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 2.2.8
НОК представляет собой произведение числовой части и переменной части.
Этап 2.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 2.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 2.3.2
Упростим левую часть.
Этап 2.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 2.3.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 2.3.2.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.2.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.2.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1.4.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 2.3.2.1.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.2.1.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.3.2.1.4.4
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.1.4.5
Перепишем это выражение.
Этап 2.3.3
Упростим правую часть.
Этап 2.3.3.1
Умножим .
Этап 2.3.3.1.1
Умножим на .
Этап 2.3.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.4
Решим уравнение.
Этап 2.4.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2.4.2
Возведем обе части уравнения в степень , чтобы исключить дробный показатель в левой части.
Этап 2.4.3
Упростим показатель степени.
Этап 2.4.3.1
Упростим левую часть.
Этап 2.4.3.1.1
Упростим .
Этап 2.4.3.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.4.3.1.1.2
Возведем в степень .
Этап 2.4.3.1.1.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.4.3.1.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.4.3.1.1.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.4.3.1.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.4.3.1.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.4.3.1.1.4
Упростим.
Этап 2.4.3.2
Упростим правую часть.
Этап 2.4.3.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.4.4
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 2.4.4.1
Разделим каждый член на .
Этап 2.4.4.2
Упростим левую часть.
Этап 2.4.4.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 2.4.4.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.4.4.2.1.2
Разделим на .
Этап 2.4.4.3
Упростим правую часть.
Этап 2.4.4.3.1
Разделим на .
Этап 3
Значения, при которых производная равна : .
Этап 4
Этап 4.1
Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.
Этап 4.1.1
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 4.1.2
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 4.2
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 4.3
Решим относительно .
Этап 4.3.1
Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень .
Этап 4.3.2
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 4.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 4.3.2.2.1
Упростим .
Этап 4.3.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.3.2.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.3.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.3.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.2.2.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.2.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.3.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.3.3
Решим относительно .
Этап 4.3.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 4.3.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 4.3.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 4.3.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 4.3.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.3.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 4.3.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 4.3.3.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 4.3.3.3
Упростим .
Этап 4.3.3.3.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 4.4
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 4.5
Решим относительно .
Этап 4.5.1
Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень .
Этап 4.5.2
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 4.5.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.5.2.2
Упростим левую часть.
Этап 4.5.2.2.1
Упростим .
Этап 4.5.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 4.5.2.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 4.5.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.5.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.5.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 4.5.2.2.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.5.2.2.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.5.2.3
Упростим правую часть.
Этап 4.5.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 4.5.3
Решим относительно .
Этап 4.5.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 4.5.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 4.5.3.1.2
Упростим левую часть.
Этап 4.5.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 4.5.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.5.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.5.3.1.3
Упростим правую часть.
Этап 4.5.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 4.5.3.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 4.5.3.3
Упростим .
Этап 4.5.3.3.1
Перепишем в виде .
Этап 4.5.3.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 4.5.3.3.3
Плюс или минус равно .
Этап 5
Разобьем на отдельные интервалы вокруг значений , при которых производная равна или не определена.
Этап 6
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Этап 6.2.1
Упростим каждый член.
Этап 6.2.1.1
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.1.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.1.1.3
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.1.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.1.4
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.1.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.1.4
Упростим знаменатель.
Этап 6.2.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.1.4.3
Сократим общий множитель .
Этап 6.2.1.4.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.4.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.1.4.4
Возведем в степень .
Этап 6.2.1.5
Умножим на .
Этап 6.2.2
Объединим дроби.
Этап 6.2.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.2.2.2
Упростим выражение.
Этап 6.2.2.2.1
Вычтем из .
Этап 6.2.2.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Этап 7.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 7.2
Упростим результат.
Этап 7.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 7.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 7.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 7.2.3.1
Умножим на .
Этап 7.2.3.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 7.2.3.2.1
Перенесем .
Этап 7.2.3.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.3.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.3.2.4
Добавим и .
Этап 7.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 7.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 7.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 8
Этап 8.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 8.2
Упростим результат.
Этап 8.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 8.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 8.2.3.1
Умножим на .
Этап 8.2.3.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 8.2.3.2.1
Перенесем .
Этап 8.2.3.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 8.2.3.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.2.3.2.4
Добавим и .
Этап 8.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.2.5
Окончательный ответ: .
Этап 8.3
При производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 9
Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.
Убывание на:
Этап 10