Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{3}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 24 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 6 x (4 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Этап 5.2.2

Вычтем $6$ из $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 30$ .

$- 30$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 30$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \frac{1}{4})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.125$ .

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.125$ в степень $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 24$ на $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Этап 6.2.1.3

Умножим $6$ на $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Этап 6.2.2

Добавим $- 0.375$ и $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.375$ .

$0.375$

Этап 6.3

При $x = 0.125$ производная имеет вид $0.375$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \frac{1}{4})$ .

Возрастание в области $(0, \frac{1}{4})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{1}{4}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.25$ .

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.25$ в степень $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 24$ на $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Этап 7.2.2

Добавим $- 37.5$ и $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 30$ .

$- 30$

Этап 7.3

При $x = 1.25$ производная имеет вид $- 30$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{1}{4}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \frac{1}{4})$

Убывание на: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Этап 9