Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Этап 1.1.7

Объединим $2$ и $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.4

Умножим $- 32$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.4.2.2

Добавим $- 64 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.8.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.6.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.8.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Этап 1.1.8.6.3

Применим правило умножения к $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$64 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $64 x = 0$ на $64$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $64 x = 0$ на $64$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $64$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(x + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 4, 4$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $64$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $81$ на $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Этап 6.3

При $x = - 5$ производная имеет вид $\frac{320}{81}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 4)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 4)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 4, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $64$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 2$ и $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $4$ на $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $- 128$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $- 128$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Этап 7.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $\frac{8}{9}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 4, 0)$ .

Возрастание в области $(- 4, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $64$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $2$ и $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Этап 8.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $36$ на $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $128$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $128$ .

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $144$ .

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Этап 8.3

При $x = 2$ производная имеет вид $- \frac{8}{9}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 4)$ .

Убывание на $(0, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $64$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $5$ и $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Умножим $81$ на $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Этап 9.3

При $x = 5$ производная имеет вид $- \frac{320}{81}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Убывание на: $(0, 4), (4, \infty)$

Этап 11