Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $- 25$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.3.2.2

Добавим $- 50 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Этап 1.1.6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$50 x = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $50 x = 0$ на $50$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $50 x = 0$ на $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $50$ .

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем ${(x + 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим ${(x + 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 4.2.3

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем ${(x - 5)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим ${(x - 5)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 5, 5$

Этап 4.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $50$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 6$ и $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $5$ из $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $121$ на $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{300}{121}$ .

$\frac{300}{121}$

Этап 6.3

При $x = - 6$ производная имеет вид $\frac{300}{121}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 5)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 5)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $50$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Объединим $- 50$ и $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4.2

Добавим $- 5$ и $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.9.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.9.2

Вычтем $10$ из $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.11

Применим правило умножения к $- \frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

Этап 7.2.2.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.1

Объединим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ и ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Этап 7.2.2.12.2

Объединим $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ и ${(\frac{15}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.13.1

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.13.2.1

Объединим $5^{2}$ и $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.2.2

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.13.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.3.3

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.13.3.4.1

Умножим $25$ на $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.3.4.2

Умножим $25$ на $225$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.13.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Этап 7.2.2.15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 7.2.2.16

Умножим $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.16.1

Умножим $\frac{5625}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Этап 7.2.2.16.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $- 50$ на $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $- 250$ на $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

Этап 7.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Вынесем множитель $125$ из $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

Этап 7.2.5.2

Вынесем множитель $125$ из $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Этап 7.2.5.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Этап 7.2.5.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{16}{45}$ .

$\frac{16}{45}$

Этап 7.3

При $x = - \frac{5}{2}$ производная имеет вид $\frac{16}{45}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 5, 0)$ .

Возрастание в области $(- 5, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $50$ и $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4.2

Добавим $5$ и $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Применим правило умножения к $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.7

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.9.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.9.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.11

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

Этап 8.2.2.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.12.1

Объединим $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ и ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 8.2.2.12.2

Объединим $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ и ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.2.1

Объединим $15^{2}$ и $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.2.2

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.3.4.1

Умножим $225$ на $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.3.4.2

Умножим $225$ на $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.13.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Этап 8.2.2.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Этап 8.2.2.15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Этап 8.2.2.16

Умножим $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.16.1

Умножим $\frac{5625}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Этап 8.2.2.16.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $50$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Этап 8.2.3.2

Разделим $250$ на $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

Этап 8.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вынесем множитель $125$ из $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

Этап 8.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

Этап 8.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{16}{45}$ .

$- \frac{16}{45}$

Этап 8.3

При $x = \frac{5}{2}$ производная имеет вид $- \frac{16}{45}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 5)$ .

Убывание на $(0, 5)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $50$ на $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $6$ и $5$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Умножим $121$ на $1$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{300}{121}$ .

$- \frac{300}{121}$

Этап 9.3

При $x = 6$ производная имеет вид $- \frac{300}{121}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(5, \infty)$ .

Убывание на $(5, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Убывание на: $(0, 5), (5, \infty)$

Этап 11