Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 1.1.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 1.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Этап 1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Этап 1.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Этап 1.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (4 - x) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 x = 0^{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 - 4 x = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 16$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 16$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 16$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 4.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 4$ .

$x = 4$

Этап 4.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 - x < 0$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x < - 4$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $- x < - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разделим каждый член $- x < - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x > 4$

Этап 4.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \sqrt{4 - x}$ в интервале $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{1}{2}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 4)$ .

Убывание на $(- \infty, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.1.3

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Этап 7.2.1.4

Найдем экспоненту.

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Этап 7.2.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

Этап 7.2.2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1}{2 i}$ на комплексно сопряженное $2 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Этап 7.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединим.

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $i$ на $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

Этап 7.2.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Добавим круглые скобки.

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Этап 7.2.3.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Этап 7.2.3.3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Этап 7.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Этап 7.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Этап 7.2.3.3.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

Этап 7.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (5) = \frac{i}{2}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ: $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Этап 7.3

При $x = 5$ производная равна $\frac{i}{2}$ . Поскольку это значение содержит мнимое число, функция не существует на $(4, \infty)$ .

Функция не является вещественной на $(4, \infty)$ , поскольку $f' (x)$ мнимое

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 4)$

Этап 9