Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 4}$ в виде ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Этап 1.1.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 1.1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Этап 1.1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Этап 1.1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.4

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ в интервале $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (1) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3

При $x = 1$ производная имеет вид $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 0)$

Этап 8