Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x + 5}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$5 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $5 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ в интервале $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 6$ и $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.3

При $x = - 6$ производная имеет вид $- 5$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 5)$ .

Убывание на $(- \infty, - 5)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 5, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $- 4$ и $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Этап 7.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 7.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $- 5$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 5, \infty)$ .

Убывание на $(- 5, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Этап 9