Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.9.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9.3.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Применим правило умножения к $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ на ${(- 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ на ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим ${(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Этап 4.2.2.3.2

Разделим $0$ на $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ в интервале $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Этап 6.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$f' (2) = 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Этап 9