Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ в интервале $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Этап 6.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (0) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.3

При $x = 0$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Убывание на $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (2) = - 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Этап 9