Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Этап 1.1.4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Этап 1.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = - 3$ , $b = 6$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $12$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.3

Добавим $36$ и $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Этап 2.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $12$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $36$ и $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $12$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $36$ и $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $84$ в виде $2^{2} \cdot 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.52752525$ в степень $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Этап 5.2.1.3

Умножим $6$ на $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $9.1651515$ из $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 16.16515166$ и $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Этап 5.3

При $x = - 1.52752525$ производная имеет вид $- 12.16515166$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.99999997$ в степень $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Этап 6.2.1.3

Умножим $6$ на $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 2.99999985$ и $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Этап 6.2.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 6.3

При $x = 0.99999997$ производная имеет вид $7$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Возрастание в области $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.5275252$ в степень $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 3$ на $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 37.3303021$ и $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 16.1651509$ и $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Этап 7.3

При $x = 3.5275252$ производная имеет вид $- 12.1651509$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Убывание на: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Этап 9