Математический анализ Примеры

Найти точки перегиба f(x)=x квадратный корень из 4-x^2
Этап 1
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.5
Объединим и .
Этап 1.1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.7
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.7.1
Умножим на .
Этап 1.1.7.2
Вычтем из .
Этап 1.1.8
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.8.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.8.2
Объединим и .
Этап 1.1.8.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.8.4
Объединим и .
Этап 1.1.9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.11
Добавим и .
Этап 1.1.12
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.14
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.14.1
Умножим на .
Этап 1.1.14.2
Объединим и .
Этап 1.1.14.3
Объединим и .
Этап 1.1.15
Возведем в степень .
Этап 1.1.16
Возведем в степень .
Этап 1.1.17
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.18
Добавим и .
Этап 1.1.19
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.20
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.20.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.1.20.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.1.20.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.1.21
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.22
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.23
Умножим на .
Этап 1.1.24
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.25
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.26
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.26.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.1.26.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.26.3
Добавим и .
Этап 1.1.26.4
Разделим на .
Этап 1.1.27
Упростим .
Этап 1.1.28
Вычтем из .
Этап 1.1.29
Изменим порядок членов.
Этап 1.2
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.2.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.3
Упростим.
Этап 1.2.4
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.4.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.4.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.4.4
Умножим на .
Этап 1.2.4.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.4.6
Добавим и .
Этап 1.2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2.6
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.7
Объединим и .
Этап 1.2.8
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.9
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.9.1
Умножим на .
Этап 1.2.9.2
Вычтем из .
Этап 1.2.10
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.10.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.2.10.2
Объединим и .
Этап 1.2.10.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.2.11
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.12
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.14
Умножим на .
Этап 1.2.15
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.16
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.16.1
Добавим и .
Этап 1.2.16.2
Объединим и .
Этап 1.2.16.3
Объединим и .
Этап 1.2.16.4
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.17
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.17.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.17.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.17.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.18
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.2.19
Умножим на .
Этап 1.2.20
Умножим на .
Этап 1.2.21
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.2.21.1.2
Умножим на .
Этап 1.2.21.1.3
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.21.1.5
Объединим и .
Этап 1.2.21.1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.21.1.7
Перепишем в разложенном на множители виде.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.7.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.7.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.7.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.7.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.21.1.7.2
Объединим показатели степеней.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.7.2.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.7.2.1.1
Перенесем .
Этап 1.2.21.1.7.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.2.21.1.7.2.1.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.21.1.7.2.1.4
Добавим и .
Этап 1.2.21.1.7.2.1.5
Разделим на .
Этап 1.2.21.1.7.2.2
Упростим .
Этап 1.2.21.1.8
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.1.8.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.2.21.1.8.2
Умножим на .
Этап 1.2.21.1.8.3
Умножим на .
Этап 1.2.21.1.8.4
Вычтем из .
Этап 1.2.21.1.8.5
Добавим и .
Этап 1.2.21.2
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.2.1
Перепишем в виде произведения.
Этап 1.2.21.2.2
Умножим на .
Этап 1.2.21.2.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.2.3.1
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.21.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.2.21.2.3.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.2.21.2.3.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 1.2.21.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.21.2.3.4
Добавим и .
Этап 1.3
Вторая производная по равна .
Этап 2
Приравняем вторую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Пусть вторая производная равна .
Этап 2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 2.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 2.3.2
Приравняем к .
Этап 2.3.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.3.1
Приравняем к .
Этап 2.3.3.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.3.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 2.3.3.2.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.3.2.3.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 2.3.3.2.3.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 2.3.3.2.3.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 2.3.4
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 2.4
Исключим решения, которые не делают истинным.
Этап 3
Найдем точки, в которых вторая производная равна .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подставим в , чтобы найти значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 3.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.1.2.3
Добавим и .
Этап 3.1.2.4
Перепишем в виде .
Этап 3.1.2.5
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 3.1.2.6
Умножим на .
Этап 3.1.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 3.2
Подставляя в , найдем точку . Эта точка может быть точкой перегиба.
Этап 4
Разобьем на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.
Этап 5
Подставим значение из интервала во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Умножим на .
Этап 5.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.2.3
Перепишем в виде .
Этап 5.2.2.4
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.2.2.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.2.6
Возведем в степень .
Этап 5.2.3
Разделим на .
Этап 5.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 5.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале .
Возрастание в области , так как
Возрастание в области , так как
Этап 6
Подставим значение из интервала во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 6.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1.1
Умножим на .
Этап 6.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 6.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.2.3
Перепишем в виде .
Этап 6.2.2.4
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.2.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.2.6
Возведем в степень .
Этап 6.2.3
Разделим на .
Этап 6.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 6.3
При вторая производная имеет вид . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале .
Убывание на , так как
Убывание на , так как
Этап 7
Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка .
Этап 8