Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{3}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $28$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 60 (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $- 60$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 12 x^{3} + 84 x^{2} - 120 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$- 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [84 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $84$ является константой относительно $x$ , производная $84 x^{2}$ по $x$ равна $84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 36 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 36 x^{2} + 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $84$ .

$- 36 x^{2} + 168 x + \frac{d}{d x} [- 120 x]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 120$ является константой относительно $x$ , производная $- 120 x$ по $x$ равна $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $- 120$ на $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 168 x - 120$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 36 x^{2} + 168 x - 120 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 12$ из $- 36 x^{2} + 168 x - 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 36 x^{2}$ .

$- 12 (3 x^{2}) + 168 x - 120 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- 12$ из $168 x$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 120 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- 12$ из $- 120$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 14 x)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 \cdot 10 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 (3 x^{2} - 14 x) - 12 (10)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10) = 0$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 14 x + 10)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 14 x + 10$ на $1$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = \frac{0}{- 12}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $- 12$ .

$3 x^{2} - 14 x + 10 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 14$ и $c = 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $120$ из $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $120$ из $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $10$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $120$ из $196$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{14 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{19}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + \sqrt{19}}{3}, \frac{7 - \sqrt{19}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3.78629964$ в $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.78629964$ .

$f (3.78629964) = - 3 {(3.78629964)}^{4} + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $3.78629964$ в степень $4$ .

$f (3.78629964) = - 3 \cdot 205.52276035 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 3$ на $205.52276035$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 {(3.78629964)}^{3} - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $3.78629964$ в степень $3$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 28 \cdot 54.28063794 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $28$ на $54.28063794$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 {(3.78629964)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $3.78629964$ в степень $2$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 60 \cdot 14.33606502$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $- 60$ на $14.33606502$ .

$f (3.78629964) = - 616.56828105 + 1519.85786257 - 860.16390139$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $- 616.56828105$ и $1519.85786257$ .

$f (3.78629964) = 903.28958152 - 860.16390139$

Этап 3.1.2.2.2

Вычтем $860.16390139$ из $903.28958152$ .

$f (3.78629964) = 43.12568012$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $43.12568012$ .

$43.12568012$

Этап 3.2

Подставляя $3.78629964$ в $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , найдем точку $(3.78629964, 43.12568012)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3.78629964, 43.12568012)$

Этап 3.3

Подставим $0.88036701$ в $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.88036701$ .

$f (0.88036701) = - 3 {(0.88036701)}^{4} + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $0.88036701$ в степень $4$ .

$f (0.88036701) = - 3 \cdot 0.60069643 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0.60069643$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 {(0.88036701)}^{3} - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Возведем $0.88036701$ в степень $3$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 28 \cdot 0.68232501 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $28$ на $0.68232501$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 {(0.88036701)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $0.88036701$ в степень $2$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 60 \cdot 0.77504608$

Этап 3.3.2.1.6

Умножим $- 60$ на $0.77504608$ .

$f (0.88036701) = - 1.80208931 + 19.10510038 - 46.50276526$

Этап 3.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Добавим $- 1.80208931$ и $19.10510038$ .

$f (0.88036701) = 17.30301107 - 46.50276526$

Этап 3.3.2.2.2

Вычтем $46.50276526$ из $17.30301107$ .

$f (0.88036701) = - 29.19975419$

Этап 3.3.2.3

Окончательный ответ: $- 29.19975419$ .

$- 29.19975419$

Этап 3.4

Подставляя $0.88036701$ в $f (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3} - 60 x^{2}$ , найдем точку $(0.88036701, - 29.19975419)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.88036701, - 29.19975419)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(3.78629964, 43.12568012), (0.88036701, - 29.19975419)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.88036701) \cup (0.88036701, 3.78629964) \cup (3.78629964, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.88036701)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 {(0.78036701)}^{2} + 168 (0.78036701) - 120$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $0.78036701$ в степень $2$ .

$f'' (0.78036701) = - 36 \cdot 0.60897268 + 168 (0.78036701) - 120$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 36$ на $0.60897268$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 168 (0.78036701) - 120$

Этап 5.2.1.3

Умножим $168$ на $0.78036701$ .

$f'' (0.78036701) = - 21.92301662 + 131.10165916 - 120$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 21.92301662$ и $131.10165916$ .

$f'' (0.78036701) = 109.17864253 - 120$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $120$ из $109.17864253$ .

$f'' (0.78036701) = - 10.82135746$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Этап 5.3

При $0.78036701$ вторая производная имеет вид $- 10.82135746$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 0.88036701)$ .

Убывание на $(- \infty, 0.88036701)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0.88036701, 3.78629964)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 {(2.33333333)}^{2} + 168 (2.33333333) - 120$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2.33333333$ в степень $2$ .

$f'' (2.33333333) = - 36 \cdot 5.\overline{4} + 168 (2.33333333) - 120$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 36$ на $5.\overline{4}$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 168 (2.33333333) - 120$

Этап 6.2.1.3

Умножим $168$ на $2.33333333$ .

$f'' (2.33333333) = - 196 + 392 - 120$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 196$ и $392$ .

$f'' (2.33333333) = 196 - 120$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $120$ из $196$ .

$f'' (2.33333333) = 76$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $76$ .

$76$

Этап 6.3

При $2.33333333$ вторая производная имеет вид $76$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0.88036701, 3.78629964)$ .

Возрастание в области $(0.88036701, 3.78629964)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3.78629964, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 {(3.88629964)}^{2} + 168 (3.88629964) - 120$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $3.88629964$ в степень $2$ .

$f'' (3.88629964) = - 36 \cdot 15.10332495 + 168 (3.88629964) - 120$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 36$ на $15.10332495$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 168 (3.88629964) - 120$

Этап 7.2.1.3

Умножим $168$ на $3.88629964$ .

$f'' (3.88629964) = - 543.7196983 + 652.89834083 - 120$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 543.7196983$ и $652.89834083$ .

$f'' (3.88629964) = 109.17864253 - 120$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $120$ из $109.17864253$ .

$f'' (3.88629964) = - 10.82135746$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 10.82135746$ .

$- 10.82135746$

Этап 7.3

При $3.88629964$ вторая производная имеет вид $- 10.82135746$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(3.78629964, \infty)$ .

Убывание на $(3.78629964, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$ .

$(0.88036701, - 29.19975419), (3.78629964, 43.12568012)$

Этап 9